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2019年石狮九下质检试题倒二压轴(等腰三角形与相似、旋转)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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2019年石狮九下质检试题


【石狮二检】在△ABC中,AB=AC,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋转角为α.

(1)如图1,∠BAC=90°,α=45°,试求点D到边AB,AC的距离的比值;             

  图1

(2)如图2,∠BAC=100°,α=20°,连接AD,BD,求∠CBD的大小.

【图文解析】

(1)画出符合题意的图形,不难得到如下图示的相关结论:

得△CDE为等腰直角三角形,

得m+n=√2n.得m=(√2-1)n,

所以m:n=(√2-1):1.

即所求的点D到边AB,AC的距离的比值为√2-1.

(2)由已知条件,不难得到:

所以40-x=x+20.解得x=10.

所以∠CBD=40-x=30°.

法二作△BCD关于BC对称的△BCE,如下图示:

易得△ACE是等边三角形,△ABE为等腰三角形.进一步,又可得到如下图示的结论:


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法三(林金钟老师提供)作∠ABF=100°,交AD的延长线于F,AF交BC于点E,如下图示,不难得到:

继续思考:图中有多条线段相等,还可以用旋转或辅助圆解决问题,留给有兴趣的朋友们思考(有难度且繁)。

(注:第四次来南安,今天8点30分开始的在南安的第五场讲座,又能见到熟悉的朋友,兴奋的睡不着,写了这些内容,不能再写下去了,不能影响讲座,其他方法只能略去了!).


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